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En mai dernier, OpenAI a annoncé qu’un de ses modèles internes a résolu un des problèmes d’Erdős. De l’extérieur, ça semble impressionnant. L’est-ce vraiment et quelles sont les éventuelles conséquences pour le milieu de la recherche en mathématiques ? Next a voulu en savoir plus en interrogeant la mathématicienne Viviane Pons et son confrère David Madore.
Les entreprises d’IA générative veulent absolument nous convaincre depuis quelque temps déjà que leurs modèles ont le niveau d’un chercheur. Ainsi, en novembre dernier, OpenAI le clamait à propos de GPT-5 censé avoir, par exemple, trouvé des solutions à 10 problèmes posés par le mathématicien Paul Erdős, résultats largement gonflés par l’entreprise.
L’entreprise est revenue à la charge et, le 20 mai, elle annonçait cette fois qu’un de ses modèles internes avait résolu l’un des problèmes d’Erdős (celui des distances unitaires, numéroté 90). Puis d’autres résolutions ont été annoncées. Avec les premières annonces d’OpenAI, on était en droit de se poser la question de la réalité de ces résolutions, de la capacité des IA génératives à proposer des solutions à des problèmes mathématiques que les chercheurs de la discipline n’avaient pas encore résolus.
En parallèle de la publication de la preuve d’OpenAI, le même jour, neuf mathématiciens et mathématiciennes mettaient en ligne sur la plateforme de prépublication arXiv leurs remarques sur le sujet, validant la preuve au passage. « Il ne faut pas négliger un aspect de cette démonstration : si la démonstration initiale produite par l’IA était tout à fait valide, elle a été considérablement améliorée par les chercheurs humains d’OpenAI et les nombreux autres mathématiciens ayant participé à cet article », y explique Thomas Bloom, mathématicien de l’université de Manchester.
« Il est facile de tirer des conclusions hâtives, mais ce que cette avancée nous apprend sur les humains, l’IA et les mathématiques est assez subtil », estime de son côté Melanie Matchett Wood, professeur de mathématiques à Harvard. « Je pense que si le niveau et le type d’expertise humaine représentés dans cette note avaient été mobilisés il y a un mois pour trouver un contre-exemple à cette conjecture, et si ces personnes y avaient consacré autant de temps qu’elles en ont passé à lire et à réfléchir à la solution proposée par ChatGPT, les mathématiciens auraient trouvé un contre-exemple », ajoute-t-elle.
« C’est indiscutable que des problèmes d’Erdős ont été résolus par des IA génératives », nous confirme de son côté David Madore, maître de conférences en mathématiques à Télécom ParisTech. « Au début, les premières annonces étaient très exagérées, les IA avaient trouvé une résolution qui existait déjà dans la littérature. C’était déjà quelque-chose qui n’est pas négligeable. Mais ces derniers temps, le rôle qu’a joué l’IA générative a augmenté dans la résolution de ces problèmes ».
Sans vouloir trop minimiser l’annonce d’OpenAI, David Madore explique que « les problèmes d’Erdős sont généralement des problèmes assez élémentaires, ce qui ne veut pas dire qu’ils sont faciles, mais que les outils qui sont nécessaires pour les énoncer et les définitions qui sont nécessaires pour poser le problème ne sont pas très sophistiqués ».
Le mathématicien fait remarquer que le modèle utilisé par OpenAI pour la résolution du problème est un modèle interne dont on ne connaît pas les caractéristiques et que l’entreprise n’a pas rendu public le temps de calculs qui lui a fallu. « Mais ils ont résolu l’un des problèmes d’Erdős les plus importants de façon essentiellement autonome par une IA générative », admet-il, confirmant un certain niveau des mathématiques présentées tout en ajoutant que « ce n’est pas le Saint Graal des mathématiques ».
« Il y a eu quelques résultats impressionnants, comme avec les problèmes d’Erdős. Mais il y a aussi eu plein d’autres problèmes qu’on lui a donnés sur lesquels ça ne fonctionne pas », ajoute Viviane Pons, maîtresse de conférences à l’université Paris-Saclay (la chercheuse n’utilise pas l’IA générative pour des raisons éthiques et écologiques).
Cette découverte est-elle la face émergée de l’iceberg concernant un changement de méthode récent dans la discipline ? À l’heure actuelle, les IA génératives jouent-elles un rôle important dans la recherche en mathématique ? « Moi, je dirais non », estime David Madore, « elle joue un rôle qui est en train de croître, il y a des collègues qui s’en servent, mais il y a aussi des collègues qui trouvent qu’elles sont complètement inutiles et pour l’instant la raison pour laquelle leurs avis divergent n’est pas claire : est-ce que ça dépend du domaine, de la manière dont on interroge l’IA générative ou de l’IA qu’on interroge ? ». Le sujet de l’utilisation dans les mathématiques fait actuellement débat au sein de cette communauté.
© Photo NSF-DOE Observatoire Vera-C.-Rubin/AFP
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